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2020考研數學之特征值與特征向量

來源: 跨考教育

2019-06-17 17:54:20

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  轉眼間已是六月中旬,基礎階段的線代課程已基本結束,今天我們來說一下關于特征值與特征向量這一塊的內容。特征值與特征向量是線性代數的重要內容,當然也是重要的考點之一。這一部分既是要對前面矩陣、線性方程組的綜合應用,也是后面二次型的基礎。特征值與特征向量這一章節所涉及的題目多,分值大,平均每年考查10分左右。

  特征值與特征向量這一塊包含三個方面的內容:1、特征值與特征向量的定義與性質。2、矩陣相似于相似對角化。3、實對稱矩陣的相關問題。

  首先我們來說下關于特征值與特征向量的定義及性質問題。我們是用特征多項式等于零來求特征值的,求解一個齊次線性方程組來求解特征向量的。因此求特征值與特征向量的方法和過程一定要掌握住,這里就要求我們對行列式的計算與齊次線性方程組的求解要熟練。對于一個抽象型的矩陣求特征值與特征向量我們是用定義來求解的。對于特征值與特征向量這一部分的性質我們主要掌握住:1、已知矩陣的特征值與特征向量,要記清楚其逆矩陣、伴隨矩陣、相似矩陣以及轉置的特征值及其特征向量,其中矩陣轉置的特征向量咱們不用考慮。2、我們要會根據矩陣多項式來確定矩陣特征值的范圍。3、已知矩陣的所有特征值,則矩陣的跡等于所有特征值的和,矩陣取行列式等于所有特征值相乘。這幾個性質容易出一些選擇題或者填空題,所以要求我們一定要掌握住。

  其次,關于矩陣的相似于相似對角化這一節,我們要掌握住矩陣相似的定義、矩陣相似的必要不充分條件,其中必要不充分條件的逆否命題是我們用來判別矩陣不相似的常見方法,其中兩矩陣的跡不相等則不相似最好用。關于判別兩個矩陣相似的問題,2017年考研與2018考研都出過選擇題,因此我們要掌握住兩個矩陣相似的判別方法。對于相似對角化的問題是容易出大題的地方,要會判別一個矩陣能否相似對角化并且要會求一個可逆矩陣使得矩陣可以相似對角化。判斷矩陣是否可相似對角化有三個方法,兩個充分條件:1、若矩陣是實對稱矩陣則一定可以相似對角化。2、若n階矩陣有n個不同的特征值則一定可以相似對角化。一個充要條件:若n階矩陣有n個線性無關的特征向量則一定可以相似對角化。

  最后,關于實對稱矩陣這一塊。對于一個實對稱矩陣不僅可以通過一個可逆矩陣相似對角化,還可以通過一個正交矩陣來相似對角化。實對稱矩陣的不同特征值所對應的特征向量正交,而且實對稱矩陣的特征值全為實數。這里我們一定要會求一個正交矩陣來相似對角化,這里的正交矩陣是矩陣的彼此正交且為單位向量的特征向量組成的,這里的對角矩陣是矩陣的特征值組成的。

  特征值與特征向量這一章節是考研的重點內容,同學們一定要掌握住。考研路上,同學們繼續加油!

  (本文為跨考教育教研室吳方方老師原創,轉載請注明出處。)

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