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2020考研數學之向量組與線性方程組

來源: 跨考教育

2019-06-18 10:10:52

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  現在已是六月中旬了,今天我們來說一下關于向量組與線性方程組這一塊的內容。向量組與線性方程組是線性代數的核心內容,也是咱們理解和學習整個線代這門課的樞紐。這一章節內容是考研的重點,一般每年考查一道大題和一道小題,大概在15分左右。

  向量組這一部分主要是兩大題型:1、判斷一個向量是否可以用一組向量來線性表出。2、判斷一組向量的線性相關性。

  首先我們來說一下對于判斷一個向量是否能由一組向量來線性表出的方法,我們分為數值型向量組和抽象型向量組來說。對于數值型向量組我們是借助于非齊次線性方程組的解來判斷一個向量是否由一組向量來表出的。把向量組以列的形式組成系數矩陣,然后來判別非齊次線性方程組解的情況。若非齊次線性方程有唯一解,則對應于可以表出,并且表示方法唯一;若非齊次線性方程組有無窮多解,則對應于可以表出并且表示方法不是唯一的;若非齊次線性方程組無解,則說明不能夠表出。對于抽象型線性表出問題,我們可以通過相關定理以及線性表出的定義來判別,說明一個向量不能由一組向量來線性表出一般用反證法來比較方便。

  線性方程組這一部分內容主要包括:線性方程組解的判定、線性方程組解的性質、線性方程組解的結構。

  對于線性方程組解的判定我們是用系數矩陣的秩與增廣矩陣的秩來判定的。齊次線性方程組的解的判定,若系數矩陣的秩與方程組的未知量的個數相同則說明只有零解;若系數矩陣的秩小于未知量的個數則有非零解。若非齊次線性方程組系數矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等且與未知量的個數相等,則有唯一解;若非齊次線性方程組系數矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等且小于未知量的個數,則有無窮多解;若非齊次線性方程組系數矩陣的秩與增廣矩陣的秩不相等,則無解。

  對于線性方程組解的性質,齊次線性方程組的解的線性組合仍為齊次線性方程組的解;非齊次線性方程組的解的線性組合到底是齊次線性方程組的解還是非齊次線性方程組的解要看線性組合前的系數之和。若系數之和等于1,則仍為非齊次線性方程組的解;若系數之和為0則為齊次線性方程組的解。非齊次線性方程組的解加上齊次線性方程組的解仍為非齊次線性方程組的解。

  對于線性方程組解的結構,齊次線性方程組的通解為齊次線性方程組的基礎解系的線性組合,而非齊次線性方程組的通解是齊次線性方程組的通解加上非齊次線性方程的特解。

  齊次線性方程組的基礎解系是求齊次線性方程組與非齊次線性方程組通解的關鍵。對于數值型線性方程組是通過初等行變換而且只能通過初等行變換化系數矩陣或增廣矩陣為行階梯型,然后找出主變量與自由變量以及特解。對于抽象型線性方程組求通解根據定義求出基礎解系和特解,然后求出通解的。

  考研之路仍然很艱辛,希望同學們繼續努力加油!

  (本文為跨考教育教研室吳方方老師原創,轉載請注明出處。)

  隨著考研大綱發布時間的提前,2020年全國碩士研究生招生考試公告也提前發布了,2020考研時間定在了12月21、22兩日,與之前預想的一樣,在這個馬上上就要開學的階段,小伙伴們的復習重點應該放在整合提升和查缺補漏上了。就目前的階段,各科真題的演練,復習速度略快的小伙伴要做到每周一次了,而復習略慢的也要半個月走一遍各科真題,如果知識點鞏固尚有問題的小伙伴也可以從真題中抓重點,有側重性的進行知識點的整合了。

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